pythonのnumpyだけでラッソ(Lasso)回帰をフルスクラッチ実装！

今回は、

Lasso回帰は多くのパラメータを０にするので説明するのに役立つ

と巷では言われるLasso回帰を実装していきます！

重回帰、リッジ回帰について理解をしてから読むとより分かりやすいと思います。

もし、まだ読まれていなければ先にこちらの記事をオススメします。

pythonのnumpyだけで重回帰をフルスクラッチ実装！！こんにちは。みなさん、重回帰してますか？僕は研究でよくしてます。計算が速い上に安定してそこそこの精度を出すRidge回帰...

pythonのnumpyだけでリッジ(Ridge)回帰をフルスクラッチ実装！！今回はRidge回帰を実装していきます！実はリッジ回帰は重回帰とほとんど同じコードで作成することができるのです！なので、...

個人的には精度や、なぜその変数を０にしたのかを、万人が納得できるように説明するのが難しいので好きではありません。笑

ですが、それも実装をして自分で使って見なければ分からないことだと思うので、やっていきます！

Contents

ラッソ(Lasso)回帰とは？
ラッソ（lasso）回帰の実装
ラッソ (lasso) 回帰を適応
データを見て比較
最後に

ラッソ(Lasso)回帰とは？

重回帰のパラメータを求める際に、正則化項を入れることで、重回帰よりもロバストな結果を返すモデルです。（一応？？）

これだけを見るとリッジ回帰と全く同じなのですが、正則化項の定義が異なります。

リッジ回帰ではL2ノルム、ラッソ回帰ではL1ノルムを用います。

L1ノルムを用いることで、様々な効果をもたらします。（良い意味でも悪い意味でも。）

L1ノルムを使うことで、微分をする際に、場合分けをしなければならないという点です。

数学がとても複雑になります。そのおかげで実装も面倒です。

場合分けをしなければならないのなら、そのついでに、パラメータ数を減らしてしまえ！ということで、複数の$w$の値を0にして回帰をすることができます。

そのため、解釈がしやすくなると言われています。

個人的にはLassoのパラメータから万人が納得できる解釈をすることはできないと思っています。

理由は、似たような働きをする特徴量$x_1, x_2$に対して、ラッソ回帰の重み$w_1$, $w_2$があったときに、

$w_1=0$,$w_2=2.5$のように決定された場合、それは、$w_1$と比較して $w_2$が意味のある数値だからと言い切ることはできないからです。

なぜなら、$w_1$, $w_2$の値については、訓練データのサンプリング方法や、後ほど出てくる繰り返し回数によって影響を受けるからです。

ただ、パラメータの値を、参考にすることはできると思います。

それを元に、もっと解釈がしやすいモデルで特徴量を削減して入力をするなどすれば分かりやすい結果を得ることはできると思います。

使いどころの問題です。

文字の説明

$y$ : 目的変数 ( 従属変数 )
$x$: 説明変数 ( 独立変数 )
$ϕ_j$ : 基底関数 ( $x_j$, $x_j^2$, $ln{(x_j)}$ など )
$ω_j$ : 回帰係数
$ε$ : 撹乱項、誤差項
$λ_1$：正則化項 ← New!!

どんな考え方をするの？

基本的には重回帰と全く同じです。$y$を求めるための$w$を求めます。

$y =ω_0+ω_1 ϕ_1 (x)+ω_2 ϕ_2 (x)+⋯+ω_{K-1} ϕ_{K-1} (x)+ε$
$=w^T ϕ+ε$

ただし、

$w= (ω_0,ω_1,⋯,ω_{K-1})^T, ϕ=(ϕ_0 (x),ϕ_1 (x) , ⋯,ϕ_{K-1} (x))^T$

すなわち、$y$を求めるために必要なものは、

重みとなる$ω$
独立関数$ϕ$

この二つです。

$ϕ$については、$x$の何乗までを入力にしてあげるかを関数の中で決めれるようにします。

なので、ここでは解説を飛ばします。

どうやって$ω$を求めるの？

良い感じの$f(x)$について考えるために誤差$E$を調べます。

ここで初めて、リッジ回帰との違いが現れます！

$E = \frac{1}{2}||w^T ϕ – y || + λ_1|w|$

のように、$λ_1|w|$のようにL1ノルムと呼ばれる、正則化項を加えます。

これによって、$w$に対して制限を加えます。

ただ、L1ノルムでは、L2ノルムのようにパラメータの大きさを制限するものではないので、パラメータが発散することがあり得ます。

それ以外はおおむね一緒です。

やはり、$E$が最小になってくれると嬉しいので、$E$が最小となる$ω$を計算します。

最初値を求めたいので、$E$を$ω$で微分した結果が0になればよいですが、絶対値の微分になるので、場合分けをしなければなりません。

その点について以下の記事が分かりやすかったです。

ラッソ回帰の数学と実装

更新の部分については上記の記事を参考にしました。

ラッソ（lasso）回帰の実装

class MyLassoRegressor:
    def __init__(self, alpha=1.0, max_iter=1000):
        """
        alpha : float,  default=1.0
            Regularization strength
        max_iter : int, default=1000
            Iterate count to update the weight
        """
        self.max_iter = int(max_iter) # New!!
        self.alpha = float(alpha)
        self.weight = None # New!!
        self.dim = None
        self.coef_ = None
        self.intercept_ = None
        self.n_feature = None
        self.__name__ = "Lasso"

    def _thresholding(self, numerator, denominator, n_sample): # New!!
        # wk is positive
        if numerator > self.alpha * n_sample:
            return (numerator - self.alpha * n_sample) / denominator
        # wk is negative
        elif numerator < -self.alpha * n_sample:
            return (numerator + self.alpha * n_sample) / denominator
        # others
        else:
            return 0

    def _update(self, n_sample, n_weight, X, y): # New!!
        for k in range(n_weight):
            if k == 0:
                # update w0
                self.weight[0] = (y - np.dot(X[:, 1:], self.weight)).sum() / n_sample
            else:
                # update index
                _k = [i for i in range(n_weight) if i not in [0, k]]
                # # a part of renewal numerator
                numerator = np.dot((y - np.dot(X[:, _k], self.weight[_k]) - self.weight[0]), X[:, k]).sum()
                # renewal denominator
                denominator = (X[:, k] ** 2).sum()
                # update weights
                self.weight[k] = self._thresholding(numerator, denominator, n_sample)

    def fit(self, X, y, dim=1):
        """
        Calculate weight of Lasso Regression
        Parameters
        X : array_like (n_sample, n_feature)
            The matrix of explanatory variables
        y : array_like (n_sample, 1)
            Objective variable
        dim : int, default 1
            Dimension of multiple regression
        """
        n_sample, n_feature = X.shape
        # X (n_sample, dim, n_feature)
        X = np.array([[x**i for i in range(dim + 1)] for x in X])
        # delete duplicated ones array
        X = X.reshape(n_sample, -1)[:, n_feature - 1:]
        n_weight = X.shape
        # initialize weight as 0
        self.weight = np.zeros(n_weight)
        # update
        for _ in range(self.max_iter):
            self._update(n_sample, n_weight, X, y)
            # print(self.weight)
        self.coef_ = self.weight
        self.intercept_ = self.weight[0]
        self.dim = dim
        self.n_feature = n_feature

    def predict(self, X):
        """
        Calculate Lasso Regression
        Parameters
        X : array_like (n_sample, n_feature)
            The matrix of explanatory variables in test dataset
        Returns
            Predicted objective variable
        """
        n_sample, n_feature = X.shape
        # X (n_sample, dim, n_feature)
        X = np.array([[x**i for i in range(self.dim + 1)] for x in X])
        # delete ones array
        X = X.reshape(n_sample, -1)[:, n_feature:]
        return (np.dot(X, self.coef_) + self.intercept_)

    def mse(self, X, y):
        """
        Calculate mean square error
        Parameters
        X : array_like (n_sample, n_feature)
            The matrix of explanatory variables in test dataset
        y : Ground truth of objective variable
        Returns
            Mean square error
        """
        return np.mean((self.predict(X) - y)**2)

    def title(self):
        """
        Make title for plot
        Return
            string of equation
        """
        Xn = [f"x_{k}" for k in range(1, self.n_feature + 1)]
        title = "$f(x) = $" + f"{float(self.intercept_): .2f}"
        for d in range(1, self.dim + 1):
            for k in range(self.n_feature):
                if self.coef_[(d - 1) * self.n_feature + k] > 0:
                    sign = "+"
                elif self.coef_[(d - 1) * self.n_feature + k] < 0:
                    sign = "-"
                else:
                    continue
                if d == 1:
                    title += f"${sign}{abs(float(self.coef_[(d-1) * self.n_feature + k])):.2f}{Xn[k]}$"
                else:
                    title += f"${sign}{abs(float(self.coef_[(d-1) * self.n_feature + k])):.2f}{Xn[k]}^{d}$"
        return title

_thresholdindの部分で、各weightに対して場合分けを行い、更新をするか0にするかを決定します。

この計算によってweightが0になった理由を、定性的(数学をよく知らない偉そうな人が直感的に理解できる感じ)に説明できますか？？笑

とても難しいと思います。

これが僕がLasso回帰をあまり推していない理由のひとつです。

また、この更新では、weightが更新によって符号をまたがないことを暗黙に仮定しています。

つまり、更新をすればするほど、weightの絶対値は大きくなります。(ただし足したときの和は一定)

それがどういった影響を及ぼすのかも考えてみると面白いかも知れません。

それでも、精度が良ければ使えば良いと思うんですよ。

はい。では、精度を見ていきます。

ラッソ (lasso) 回帰を適応

import argparse
import pandas as pd
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.model_selection import KFold

def main():
    parser = argparse.ArgumentParser()
    parser.add_argument("-d", "--dim", type=int, default=1, help="回帰の次元数．デフォルトは1")
    parser.add_argument("-r", "--regressor", type=str, default="m", help="回帰モデルの名前．デフォルトは'm'")
    parser.add_argument("-f", "--fname", type=str, default="data1.csv", help="読み込むファイルの名前．デフォルトは'data1.csv'")
    parser.add_argument("-a", "--alpha", type=float, default=1.0, help="正則化項の係数．デフォルトは1.0")
    args = parser.parse_args()

    # define regression model
    dim = args.dim
    alpha = args.alpha
    regressor = args.regressor
    if regressor == "m":
        model = MyMultipleRegressor()
    elif regressor == "r":
        model = MyRidgeRegressor(alpha=alpha)
    elif regressor == "l":
        model = MyLassoRegressor(alpha=alpha, max_iter=2)
    # load data
    fname = args.fname
    data = pd.read_csv('../' + fname)
    # split data
    n_sample, n_cols = data.shape
    feature_cols = list(data.columns[:-1])
    target_col = list(data.columns[-1:])
    kf = KFold(n_splits=2, shuffle=True)
    for train_idx, test_idx in kf.split(data):
        break
    # train data
    train_X = data.loc[train_idx, feature_cols].values.reshape(-1, n_cols - 1)
    train_y = data.loc[train_idx, target_col].values.reshape(-1, 1)
    model.fit(train_X, train_y, dim=dim)
    train_mse = model.mse(train_X, train_y)
    # test data
    test_X = data.loc[test_idx, feature_cols].values.reshape(-1, n_cols - 1)
    test_y = data.loc[test_idx, target_col].values.reshape(-1, 1)
    test_mse = model.mse(test_X, test_y)
    title = model.title()
    if n_cols == 2:
        # plot original data
        plt.figure(figsize=(10, 8))
        plt.xlabel(feature_cols[0], size=16)
        plt.ylabel(target_col[0], size=16)
        plt.title(f"{model.__name__} Regression\n" + title + f"\nTrain MSE : {train_mse:.4f}, Test MSE : {test_mse:.4f}", size=20)
        plt.scatter(train_X, train_y, label="Train Observed")
        plt.scatter(test_X, test_y, label="Test Observed")
        # plot predicted data
        X1 = np.linspace(data[feature_cols].min(), data[feature_cols].max(), 500)
        y1_hat = model.predict(X1)
        plt.plot(X1, y1_hat, c="r", label="Predicted")
        plt.legend(fontsize=16)
        plt.savefig(fname[:-4] + f"{model.__name__}_{dim}D.png", bbox_inches="tight")
        plt.show()
    elif n_cols == 3:
        # plot original data
        fig = plt.figure(figsize=(10, 8))
        ax = Axes3D(fig)
        ax.set_xlabel(feature_cols[0], size=14)
        ax.set_ylabel(feature_cols, size=14)
        ax.set_zlabel(target_col[0], size=14)
        plt.title(f"{model.__name__} Regression\n" + title + f"\nTrain MSE : {train_mse:.4f}, Test MSE : {test_mse:.4f}", size=20)
        ax.plot(data.loc[train_idx, feature_cols[0]].values, data.loc[train_idx, feature_cols].values,
                data.loc[train_idx, target_col].values.flatten(),
                marker="o", linestyle='None', label="Train Observed")
        ax.plot(data.loc[test_idx, feature_cols[0]].values, data.loc[test_idx, feature_cols].values,
                data.loc[test_idx, target_col].values.flatten(),
                marker="o", linestyle='None', label="Test Observed")
        # plot predicted data
        X1 = np.linspace(data[feature_cols[0]].min(), data[feature_cols[0]].max(), 30)
        X2 = np.linspace(data[feature_cols].min(), data[feature_cols].max(), 30)
        X1, X2 = np.meshgrid(X1, X2)
        X3 = np.concatenate([X1.reshape(-1, 1), X2.reshape(-1, 1)], axis=1)
        y3_hat = model.predict(X3).reshape(X1.shape)
        ax.plot_wireframe(X1, X2, y3_hat, color="red", label="Predictied")
        plt.legend(loc='center left', fontsize=16)
        plt.savefig(fname[:-4] + f"{model.__name__}_{dim}D.png", bbox_inches="tight")
        plt.show()


if __name__ == "__main__":
    main()